Définition

\(\triangleright\) Définition d'un opérateur linéaire

Un operateur \(\hat T\) est un opérateur linéaire si:
$$\forall \ket{\psi_1},\ket{\psi_2}\in \mathcal H,\quad\lambda\in\Bbb C$$
On a $$\hat T(\lambda \ket{\psi_1})={{\lambda(\hat T\ket{\psi_1})}}$$
Et $$\hat T(\ket{\psi_1}+\ket{\psi_2})={{\hat T\ket{\psi_1}+\hat T\ket{\psi_2} }}$$

En dimension infinie

En dimension, il y a beaucoup de subtilités.
Par exemple:
\(\hat X\) et \(\hat P\) ne sont pas définie sur tout \(\mathcal L_2(\Bbb R, \Bbb C)\)
Soit \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1} }\in\mathcal L_2\)
Mais \(\hat Xf(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1} }\notin \mathcal L_2\)
Un opérateur est définie par une action sur les fonctions et par son domaine, i.e l'ensemble des fonctions sur lesquels il a le droit d'agir.

Exemples

Equation différentiel ordinaire linéaire

\(\triangleright\) Opérateur linéaire de second ordre en dérivée

On définie les opérateurs linéaires de seconde \(L\) ordre tel que:
$$Lf(x)=\alpha(x)\partial_x^2f(x)+\beta(x)\partial_xf(x)+\gamma(x)f(x)$$